Question

【題目】在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別是的中點，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接，，可證，再證，即可得到平面平面，從而得證；

（Ⅱ）不妨設，則，可證平面，從而得到平面平面，過點作交于點，連接，

則平面，所以是直線與平面所成的角，最后根據余弦定理及三角函數的定義計算可得；

（Ⅰ）證明：如圖所示，取的中點，連接，

由題意得，所以，因為面，面，

所以面，

又因為點是的中點，，

所以點是的中點，故，

因為面，面，

所以面，

又因為，面，面，

所以平面平面，又因為平面，所以平面．

（Ⅱ）不妨設，則，

所以，即，又因為且，平面，平面，

所以平面，

又平面，故平面平面．因為平面平面，

過點作交于點，連接，

則平面，所以是直線與平面所成的角．

在中，，所以，

在中，，由余弦定理得，

在中，，所以直線與平面所成角的正切值為．