Question

（本題滿分14分）
如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD為一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點．
（Ⅰ）求證：BE//平面PAD；
（Ⅱ）若BE⊥平面PCD。
（i）求異面直線PD與BC所成角的余弦值；
（ii）求二面角E—BD—C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）（i）異面直線與所成角的余弦值為
（ii）二面角的余弦值為

設，建立如圖的空間坐標系，
，,
，．……………………………………2分
（Ⅰ），，
所以，  
平面，平面． ……………………………………4分
（Ⅱ）平面，，即
，，即．…………………6分
①，
，
所以異面直線與所成角的余弦值為……………………………10分
②平面和平面中，，
所以平面的一個法向量為；
平面的一個法向量為；……………………………………12分
，所以二面角的余弦值為…………………14分