Question

【題目】若函數的定義域為，滿足對任意，有.則稱為“形函數”；若函數定義域為，恒大于0，且對任意，恒有，則稱為“對數形函數”.

（1）當時，判斷是否是“形函數”，并說明理由；

（2）當時，判斷是否是“對數形函數”，并說明理由；

（3）若函數是形函數，且滿足對任意都有，問是否是“對數形函數”？請加以證明，如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）不是；詳見解析（2）是；詳見解析（3）是，詳見解析

【解析】

（1）由，作差化簡，得到當，同號時，此時，即可得到結論；

（2）因為恒成立，可利用分析法和函數的新定義，作出判定和證明．

（3）由的新定義和，得到，進而得到，再根據對數的運算性質，即可求解．

（1）由題，函數，

則

當，同號時，此時，

此時不滿足，所以不是型函數．

（2）因為恒成立，

要證對任意，，，

即證對任意，，，

即證對任意，，．

因為，

所以是對數型函數

（3）函數是對數型函數．證明如下：

因為是型函數，所以對任意，，有，

又由對任意，有，所以，

所以，所以，

所以，

所以是對數型函數．