Question

【題目】若函數對定義城內的每一個值，在其定義域內都存在唯一的，使得成立，則稱該函數為“函數”.

(1)判斷函數是否為“函數”，并說明理由；

(2)若函數在定義域上為“函數”，求的取值范圍；

(3)已知函數在定義域上為“函數”.若存在實數，使得對任意的，不等式都成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）不是，理由見解析；

（2）；

（3）或；

【解析】

（1）通過列舉的方式可判斷不是反函數；

（2）由函數在定義域上為“函數”可得，，

可代換為，結合導數可求得范圍；

（3）由“函數”定義可先求證函數在上單調，且，求得參數，由對于任意實數恒成立整理得，變形成關于的二次不等式，再令進一步求得值即可

(1)不是為“函數”.

若，當或時，滿足，

此時不唯一，所以不是為“函數”.

(2)因為函數在為増函數，且在上為“函數”，

所以，即.

又因為，所以.

所以.

令，則，

因為，所以，所以在上單調遞減，

所以，即.

(3)若圖像對稱軸，設，且，關于對稱，

此時，，由條件可知，存在，使，這與“函數”定義矛盾.

所以在上單調，且，

由，得，解得或.

檢驗：在上單調，所以.

不等式即，

整理得，由題意知，上式對任意恒成立.

得，

整理得，由題意知，存在使得上式成立，

所以或.

解得或.