Question

【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）的離心率e= ，其左右焦點分別為F1 ， F2 ， 過F1的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF2的周長為4 ．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，直線x=ty+m交橢圓于不同兩點C，D，若以線段CD為直徑的圓過原點O，求|CD|的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，

即有△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|

=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4 ，可得a= ，

e= = ，可得c=2，b= =1，

即有橢圓的方程為 +y2=1

（2）解：當直線OC的斜率不存在或斜率為0時，

可得|CD|= = ，

當直線OC的斜率存在時，

設直線OC的方程為y=kx（k≠0），直線OD的方程為：y=﹣ x

聯立 ，解得x2= ，y2= ．

∴|OC|2=x2+y2= ．

同理可得|OD|2= ．

∴|CD|2=|OC|2+|OD|2= + =

= ≥ ，當k2=1時取等號．

∴|CD|≥ ．

綜上可得， ≤|CD|≤

【解析】（2）當直線OC的斜率不存在或斜率為0時，可得|CD|= = ．當直線OC的斜率存在時，設直線OC的方程為y=kx（k≠0），直線OD的方程為：y=﹣ x聯立橢圓方程，解得x2 ， y2 ． 可得|OC|2=x2+y2= ．同理可得|OD|2= ．可得|CD|2=|OC|2+|OD|2 ， 求得最小值，即可得出范圍．