Question

【題目】已知函數f(x)＝excos x－x.

(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；

(2)求函數f(x)在區間上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝1；（2）最大值為1，最小值為.

【解析】(1)因為f(x)＝excos x－x，

所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.

又因為 f(0)＝1，

所以曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝1.

(2)設h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，

則h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.

當x∈時，h′(x)＜0，

所以h(x)在區間上單調遞減．

所以對任意x∈有h(x)＜h(0)＝0，

即f′(x)＜0.

所以函數f(x)在區間上單調遞減．

因此f(x)在區間上的最大值為f(0)＝1，最小值為f＝－.