Question

【題目】已知點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）已知點(diǎn)， ，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于， 兩點(diǎn)，求證：直線與直線的斜率之和為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

（1）設(shè)以線段為直徑的圓的圓心為，取，借助幾何知識(shí)分析可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，根據(jù)待定系數(shù)法可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．（2）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，不合題意；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元后可得二次方程，根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式可得，為定值．

試題解析：

（1）如圖，設(shè)以線段為直徑的圓的圓心為，取.

依題意，圓內(nèi)切于圓，設(shè)切點(diǎn)為，則， ， 三點(diǎn)共線，

為的中點(diǎn)， 為中點(diǎn)，

.

，

∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，

設(shè)其方程為，

則， ，

， ，

，

動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.

（2）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線與橢圓相切，與題意不符.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為.

由消去y整理得.

∵直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，

∴，

解得．

設(shè)， ，

則，

（定值）．