Question

已知向量

a

=（2cosx，2sinx），

b

=(cosx，-

3

cosx)，函數f（x）=

a

•

b

，g(x)=f(

π

6

x+

π

3

)+ax（a為常數）．
（1）求函數f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）若函數g（x）的圖象關于y軸對稱，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知對任意實數x₁，x₂，都有|cos

π

3

x1-cos

π

3

x2|≤

π

3

|x1-x2|成立，當且僅當x₁=x₂時取“=”．求證：當a＞

2π

3

時，函數g（x）在（-∞，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=（2cosx，2sinx），

b

=(cosx，-

3

cosx)，函數f（x）=

a

•

b

，我們可以求出函數f（x）的解析式，進而根據余弦型函數的對稱性得到函數f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）由（1）中函數f（x）的解析式及g(x)=f(

π

6

x+

π

3

)+ax可得函數g（x）的解析式，根據函數g（x）的圖象關于y軸對稱，可得a值，進而根據函數的周期，利用分組求和法可得g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3））∵已知對任意實數x₁，x₂，都有|cos

π

3

x1-cos

π

3

x2|≤

π

3

|x1-x2|成立，可證得當a＞

2π

3

時，當x₁＜x₂時，恒有g（x₁）＜g（x₂）．進而根據函數單調性的定義可得，當a＞

2π

3

時，函數g（x）在（-∞，+∞）上是增函數．

解答：解：（1）∵向量

a

=（2cosx，2sinx），

b

=(cosx，-

3

cosx)，
又∵f（x）=

a

•

b

，
∴f(x)=2cos2x-2

3

sinxcosx
=2cos(2x+

π

3

)+1．　　　　　　　　　　　…（4分）
由2x+

π

3

=kπ(k∈Z)，得x=

kπ

2

-

π

6

(k∈Z)，
即函數f（x）的對稱軸方程為x=

kπ

2

-

π

6

(k∈Z)．…（6分）
（2）由（1）知g(x)=2cos(

π

3

x+π)+ax+1=-2cos

π

3

x+ax+1
∵函數g（x）的圖象關于y軸對稱，
∴函數g（x）是偶函數，即a=0．
故g(x)=-2cos

π

3

x+1…（8分）
又函數g（x）的周期為6，
∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）=6．
∴g（1）+g（2）+g（3）…+g（2011）=2010．  …（11分）
（3）∵已知對任意實數x₁，x₂，都有|cos

π

3

x1-cos

π

3

x2|≤

π

3

|x1-x2|成立
∴對于任意x₁，x₂且x₁＜x₂，由已知得

π

3

(x1-x2)≤cos

π

3

x1-cos

π

3

x2≤

π

3

(x2-x1)．
∴g(x1)-g(x2)=2cos

π

3

x1+ax1+1-2cos

π

3

x2-ax2-1=2(cos

π

3

x1-cos

π

3

x2)+a(x1-x2)＜

2π

3

(x2-x1)+a(x1-x2)=(a-

2π

3

)(x1-x2)
∵a＞

2π

3

，
∴(a-

2π

3

)(x1-x2)＜0
即當x₁＜x₂時，恒有g（x₁）＜g（x₂）．
所以當a＞

2π

3

時，函數g（x）在（-∞，+∞）上是增函數．…（16分）

點評：本題考查的知識點是余弦函數的對稱性，函數的單調性的性質，三角函數的化簡求值，三角函數的周期性及其求法，其中求出函數f（x）的解析式及函數g（x）的解析式是解答本題的關鍵．