Question

【題目】若 ， ， 為同一平面內互不共線的三個單位向量，并滿足 + + = ，且向量 =x + +（x+ ） （x∈R，x≠0，n∈N+）．
（1）求 與 所成角的大小；
（2）記f（x）=| |，試求f（x）的單調區(qū)間及最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題設：| |=|| =| |=1，且 + =﹣ （ + ）2=（﹣ ）2，化簡得：

=﹣ cos＜ ， ＞=﹣ ，又＜ ， ＞∈[0，π]＜ ， ＞= ．

（2）解：由（1）易知： = = =﹣ ，

故由f（x）=| |= ，

將其展開整理得：f（x）= （x∈R，x≠0，n∈N+）．①x＞0時，對u（x）=x2+（ ）2﹣n，求導并整理得：u′（x）= ．

則由u′（x）＞0x＞ ，

且由u′（x）＜00＜x＜ ．即f（x）的增區(qū)間為（ ，+∞），減區(qū)間為（0， ）．

②x＜0時，因f（x）為偶函數(shù)，由圖象的對稱性知：f（x）的增區(qū)間為（﹣ ，0），減區(qū)間為（﹣∞，﹣ ）．

綜上：f（x）的增區(qū)間為 （﹣ ，0）與 （ ，+∞），f（x）的減區(qū)間為（﹣∞，﹣ ） 和 （0， ）．

再由均值不等式易求得：|x|= 時，f（x）min= ．

【解析】（1）首先利用函數(shù)的數(shù)量積求出向量的夾角．（2）首先把向量的模長轉化為求向量的數(shù)量級，進一步利用導數(shù)求出單調區(qū)間，最后確定最值．
【考點精析】掌握函數(shù)單調性的判斷方法和函數(shù)的最值及其幾何意義是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；利用二次函數(shù)的性質（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大（小）值．