Question

【題目】已知正項等差數列的前項和是若，且成等比數列.

(1)求數列的通項公式；

(2)記的前項和是，求.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an＝3n-2．

（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）設正項等差數列{an}的公差為d，故d＞0．由2a1，a2，a3+1成等比數列，可得＝2a1（a1+2d+1）．又S3＝12＝，聯立解出即可．

（Ⅱ）bn＝(3n-2)3n，利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．

解：（Ⅰ）設正項等差數列{an}的公差為d，故d＞0．

∵2a1，a2，a3+1成等比數列，

則＝2a1（a3+1），

即＝2a1（a1+2d+1）．

又S3＝12＝，

解得或（舍去），

∴an＝1+（n﹣1）×3＝3n-2．

（Ⅱ）bn＝(3n-2)3n，

∴Tn＝1×3+4×32+…+(3n-2)3n，

∴3Tn＝1×32+4×33+…+（3n﹣5）3n+(3n-2)3n+1，

∴﹣2Tn＝1×3+3（32+33+…+3n）﹣(3n-2)×3n+1

＝3+﹣(3n-2)×3n+1

＝

,

∴．