Question

如圖，已知AB⊥平面BCE，CD∥ab，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD．
（Ⅰ）在線段BE上是否存在一點F，使CF∥平面ADE？
（Ⅱ）求證：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角A-DE-B的正切值．

Answer 1

分析：（I）取BE的中點F、AE的中點G，連接GD，GD，CF，由，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD，結合三角形中位線性質，我們可得四邊形CFGD是平行四邊形，則CD∥GD，根據線面平行的判定定理，即可得到結論．
（II）由CF⊥BF，CF⊥AB，根據線面垂直判定定理可得CF⊥平面ABE，結合（I）中CF∥DG，可得DG⊥平面ABE，結合面面垂直的判定定理，可得平面ABE⊥平面ADE；
（III）過G作GM⊥DE，連接BM，我們可以得到∠BMG為二面角A-DE-B的平面角，解三角形BMG即可求出二面角A-DE-B的正切值．

解答：解：（Ⅰ）當F為BE的中點時，CF∥平面ADE…（1分）
證明：取BE的中點F、AE的中點G，連接GD，GD，CF
∴GF=

1

2

AB，GF∥AB
又∵DC=

1

2

AB，CD∥AB
∴CD∥GF，CD=GF
∴CFGD是平行四邊形…（3分）
∴CF∥GD
∴CF∥平面ADE…（4分）
（Ⅱ）∵CF⊥BF，CF⊥AB
∴CF⊥平面ABE
∵CF∥DG
∴DG⊥平面ABE…（6分）
∵DG?平面ABE
∴平面ABE⊥平面ADE…（7分）
（Ⅲ）∵AB=BE
∴AE⊥BG
∴BG⊥平面ADE
過G作GM⊥DE，連接BM，則BM⊥DE
則∠BMG為二面角A-DE-B的平面角…（9分）
設AB=BC=2CD=2，則
BG=

2

，GE=

2

在Rt△DCE中，CD=1，CE=2
∴DE=

5

又DG=CF=

3

由DE•GM=DG•EG得GM=

30

5

…（11分）
∴tan∠BMG=

BG

GM

=

15

3

∴面角A-DE-B的正切值

15

3

…（12分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，二面角的平面角及求法，（I）、（II）的關鍵是熟練掌握直線與平面垂直及平行的判定定理、性質定理，（III）的關鍵是根據三垂線定理求出二面角的平面角．