Question

【題目】如圖，已知多面體ABC﹣A1B1C1中，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，AB⊥AC，AA1＝4，CC1＝1，AB＝AC＝BB1＝2．

（Ⅰ）求證：A1C⊥平面ABC1；

（Ⅱ）求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）建立空間直角坐標系，求出，，的坐標，利用數量積來確定,，從而得證。

（Ⅱ）求得平面的一個法向量坐標，再利用數量積求得平面的一個法向量坐標，利用向量夾角公式即可求得二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．

以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，.

（Ⅰ）證明：，，

∵ ，

，

所以,.

∵,

∴平面.

（Ⅱ）由題意可知，平面，平面，

∴

又∵，,

∴平面.

∴平面的一個法向量為.

∵，,

設平面的一個法向量為 ，

則，取,

所以平面的一個法向量為

∴.

顯然二面角為銳二面角,

∴二面角的余弦值為