Question

某投資公司計劃投資A、B兩種金融產品，根據市場調查與預測，A產品的利潤y與投資量x成正比例，其關系如圖1，B產品的利潤y與投資量x的算術平方根成正比例，其關系如圖2，（注：利潤與投資量單位：萬元）
（1）分別將A、B兩產品的利潤表示為投資量的函數關系式；
（2）該公司已有10萬元資金，并全部投入A、B兩種產品中，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？

Answer 1

分析：（1）由于A產品的利潤y與投資量x成正比例，B產品的利潤y與投資量x的算術平方根成正比例，故可設函數關系式，利用圖象中的特殊點，可求函數解析式；
（2）設A產品投入x萬元，則B產品投入10-x萬元，設企業利潤為y萬元．利用（1）由此可建立函數，采用換元法，轉化為二次函數．利用配方法求函數的最值．

解答：解：（1）設投資為x萬元，A產品的利潤為f（x）萬元，B產品的利潤為g（x）萬元．
由題意設f（x）=k₁x，g(x)=k2

x

．由圖知f(1)=

1

5

，∴k1=

1

5

又g（4）=1.6，∴k2=

4

5

．從而f(x)=

1

5

x(x≥0)，g(x)=

4

5

x

(x≥0)（8分）
（2）設A產品投入x萬元，則B產品投入10-x萬元，設企業利潤為y萬元．
y=f(x)+g(10-x)=

x

5

+

4

5

10-x

（0≤x≤10）
令

10-x

=t，則y=

10-t2

5

+

4

5

t=-

1

5

(t-2)2+

14

5

(0≤t≤

10

)
當t=2時，ymax=

14

5

=2.8，此時x=10-4=6（15分）
答：當A產品投入6萬元，則B產品投入4萬元時，
該企業獲得最大利潤，利潤為2.8萬元．                              （16分）

點評：本題的考點是函數模型的選擇與應用，主要考查正比例函數模型，關鍵是將實際問題轉化為數學問題．