Question

設橢圓的左、右頂點分別為、，離心率．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點C的軌跡E的方程；
（3）設直線MN過橢圓的右焦點與橢圓相交于M、N兩點，且，求直線MN的方程.

Answer 1

（1）;(2) ;(3)或.

試題分析：（1）要求橢圓的方程,就要知道a,b,由點A知道a=,由離心率可求得c,由a²=b²+c²進而求出b=1;(2)求動點的軌跡方程,首先設，，利用用C點表示P點坐標,,代入橢圓方程,從而得到動點C的軌跡;(3)直線MN被橢圓截得的弦長,直線MN斜率分兩種情況,斜率存在和斜率不存在,斜率不存在是,直線MN方程為x="1," ,舍掉,斜率存在式,設直線MN的方程為，聯立直線和橢圓方程,利用根與系數關系和可以求出k.
試題解析：（1）由題意可得，，，
∴，
∴，
∴橢圓的方程為．
（2）設，，由題意得，即，
又，代入得，即,
即動點的軌跡的方程為．
（3） 若直線MN的斜率不存在，則方程為，所以,
∴直線MN的斜率存在，設為k，直線MN的方程為，
由，得,
∵，
∴,
設M ，則
∴，
即，
解得.
故直線MN的方程為或.