Question

【題目】已知函數y=f（x）滿足f（x﹣1）=2x+3a，且f（a）=7．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若g（x）=xf（x）+λf（x）+x在[0，2]上最大值為2，求實數λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x﹣1）=2x+3a=2（x﹣1）+3a+2，

則f（x）=2x+3a+2，

∵f（a）=7，

∴2a+3a+2=7，

解得a=1，

∴f（x）=2x+5

（2）解：g（x）=xf（x）+λf（x）+x=x（2x+5）+2λx+5λ=2x2+（6+2λ）x+5λ，

則其對稱軸為x=﹣ ，

當﹣ ≤0時，即λ≥﹣3時，函數g（x）在[0，2]上單調遞增，故g（x）max=g（2）=9λ+20，

當﹣ ≥2時，即λ≤﹣7時，函數g（x）在[0，2]上單調遞減，故g（x）max=g（0）=5λ，

當0＜﹣ ≤1時，即﹣5≤λ＜﹣3時，g（x）max=g（2）=9λ+20，

當1＜﹣ ＜2時，即﹣7＜λ＜﹣5時，g（x）max=g（0）=5λ，

故，當λ≥﹣5時，g（x）max=g（2）=9λ+20=2，解得λ=﹣2，

當λ＜﹣5時，g（x）max=g（0）=5λ=2，解的λ= ，舍去

綜上所述λ的值為﹣2

【解析】（1）根據配湊法即可求出函數的解析式，（2）化簡g（x），根據二次函數的性質，分類討論即可求出λ的值，
【考點精析】利用函數的最值及其幾何意義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．