Question

已知圓M:(x-)²+y²=,若橢圓C:+=1(a>b>0)的右頂點為圓M的圓心,離心率為.

(1)求橢圓C的方程.

(2)已知直線l:y=kx,若直線l與橢圓C分別交于A,B兩點,與圓M分別交于G,H兩點(其中點G在線段AB上),且|AG|=|BH|,求k的值.

Answer 1

【解析】(1)設橢圓的焦距為2c,

因為a=,=,所以c=1,

所以b=1,所以橢圓C:+y²=1.

(2)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

由直線l與橢圓C交于兩點A,B,

則所以(1+2k²)x²-2=0,

則x₁+x₂=0,x₁x₂=-,

所以|AB|==,

點M(,0)到直線l的距離d=,

則|GH|=2,

顯然,若點H也在線段AB上,則由對稱性可知,直線y=kx就是y軸,矛盾,

因為|AG|=|BH|,所以|AB|=|GH|.

所以=4,

得k²=1,解得k=±1.