Question

【題目】設(shè)，其中.

（1）當(dāng)q=1時(shí)，化簡：；

（2）當(dāng)q=n時(shí)，記，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1） (2) 當(dāng)n=1，2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

【解析】

(1) 當(dāng)q=1時(shí)，,從而得到結(jié)果；

(2) 當(dāng)q=n時(shí)，由二項(xiàng)式定理可得，猜想、歸納，用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可.

（1）當(dāng)q=1時(shí)，，

由于

，

其中.

所以原式

（2）【解法一】當(dāng)q=n時(shí)，，

所以，所以，

令x=1，得，

當(dāng)n=1，2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即.

下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，，……（☆）

①當(dāng)n=3時(shí)，，（☆）式成立；

②設(shè)時(shí)，（☆）式成立，即，

則時(shí)，（☆）式右邊

.

這就是說，當(dāng)，（☆）式也成立.

綜合①②知，當(dāng)時(shí)，.

所以，當(dāng)n=1，2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

【解法二】

當(dāng)q=n時(shí)，，

所以，所以，

令x=1，得，.

要比較與的大小，即可比較與的大小，

設(shè)，則，

由，得，所以在上遞增，

由，得，所以在上遞減，

所以當(dāng)n=1，2時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，即，

即，即，

綜上所述，當(dāng)n=1，2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

【解法三】

當(dāng)q=n時(shí)，，

所以，所以，

令x=1，得，

當(dāng)n=1，2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：，，，……（*）

①當(dāng)n=3時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以（*）式成立；

②設(shè)時(shí)，（*）式成立，即有，

所以（因?yàn)?/span>）.

又因?yàn)?/span>，即，

所以，

即，所以，當(dāng)時(shí)，（*）式也成立.

綜合①②，對任何，都成立.

所以，當(dāng)n=1，2時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.