Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，a，b，c成等比數列，且a2﹣c2=ac﹣bc．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若a= ，且sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由a，b，c是一個等比數列， 得：b2=ac，
∵a2﹣c2=ac﹣bc，
∴bc=b2+c2﹣a2
那么：cosA= = = ，
∵0＜A＜π
∴A=
（Ⅱ）∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，
∴sin（B+C）+sin（B﹣C）=2sin2C，
得：2sinBcosC=4sinCcosC．
即4sinCcosC﹣2sinBcosC=0，
可得：cosC=0或sinB=2sinC．
∵0＜C＜π
∴C= 或b=2c．
①當C= ，由題意，A= ，a= ，
由正弦定理得： ，
∴c=2．
故由勾股定理得：b=1．
故得△ABC的面積S= absinC= = ．
②當b=2c時，由題意，A= ，a= ，
所以由余弦定理得：那么：cosA= ，
可得：c=1，b=2．
故得△ABC的面積S= bcsinA= =
綜上①②得：△ABC的面積S=
【解析】（Ⅰ）由a，b，c成等比數列，可得b2=ac，且a2﹣c2=ac﹣bc，利用余弦定理可得∠A的大小．（Ⅱ）利用三角形內角和定理sinA=sin（B+C），根據和與差的公式和二倍角公式化簡，利用正余弦定理求解b，c即可求△ABC的面積．
【考點精析】認真審題，首先需要了解余弦定理的定義(余弦定理:;;)．