Question

若曲線y=2x-x³在橫坐標為-1的點處的切線為l，則圓（x-3）²+（y-2）²=1上任意一點到直線l的距離的最小值為（　　）

• A．

  7 2

  2

  -1
• B．

  9 2

  2

  -1
• C．

  11 2

  2

  -1
• D．

  7 2

  2

  +1

Answer 1

分析：將-1代解析式求得切點的坐標，再求出y=2x-x³的導數，將-1代入求出切線的斜率，由點斜式求出切線的方程，整理成一般式，點到直線的距離公式求出距離，最后減去半徑即可求出所求．

解答：解：∵y=2x-x³
∴y'=2-3x²
又切點的橫坐標為-1，故切點的縱坐標是-1，y'=-1
故切線的方程是y+1=-（x+1），即切線的方程是x+y+2=0
所以圓心（3，2）到直線l的距離d=

7

2

=

7 2

2

∴圓（x-3）²+（y-2）²=1上任意一點到直線l的距離的最小值為

7 2

2

-1
故選A．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程，點到直線的距離公式，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．