Question

【題目】已知下列四個命題：
①函數f（x）= x﹣lnx（x＞0），則y=f（x）在區間（ ，1）內無零點，在區間（1，e）內有零點；
②函數f（x）=log2（x+ ），g（x）=1+ 不都是奇函數；
③若函數f（x）滿足f（x﹣1）=﹣f（x+1），且f（1）=2，則f（7）=﹣2；
④設x1、x2是關于x的方程|logax|=k（a＞0且a≠1）的兩根，則x1x2=1，
其中正確命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：①函數f（x）= x﹣lnx（x＞0），
則y=f（x）在區間（ ，1）內f（x）＞0恒成立，此時函數無零點，
f（1）f（e）＜0，故在區間（1，e）內有零點；
故①正確；
②函數f（x）=log2（x+ ）定義域為R，關于原點對稱，
f（﹣x）+f（x）=log2（﹣x+ ）+log2（x+ ）=log21=0，
即f（﹣x）=﹣f（x），故為奇函數；
g（x）=1+ = 定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱，
g（﹣x）= = =﹣g（x），故為奇函數；
故②錯誤；
③若函數f（x）滿足f（x﹣1）=﹣f（x+1），且f（1）=2，
則f（1）=﹣f（3）=f（5）=﹣f（7），
∴f（7）=﹣2；
故③正確；
④設x1、x2是關于x的方程|logax|=k（a＞0且a≠1）的兩根，則logax1=﹣logax2 ，
即logax1+logax2=logax1x2=0，即x1x2=1，
故④正確；
所以答案是：①③④．
【考點精析】掌握命題的真假判斷與應用是解答本題的根本，需要知道兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．