Question

若θ是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且m=sinθ+cosθ，則“0＜m＜1”是“方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)”的（　　）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：利用m=sinθ+cosθ，兩邊平方m²=1+2sinθcosθ，結(jié)合θ是三角形的一個(gè)內(nèi)角，可知充分性成立；當(dāng)θ=

3π

4

時(shí)，方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)，但是m=sinθ+cosθ=0，故可得結(jié)論．

解答：解：∵m=sinθ+cosθ，∴m²=1+2sinθcosθ
∵0＜m＜1，∴sinθcosθ＜0
∵θ是三角形的一個(gè)內(nèi)角，∴sinθ＞0，cosθ＜0
∴方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)
∴“0＜m＜1”是“方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)”的充分條件
當(dāng)θ=

3π

4

時(shí)，方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)，但是m=sinθ+cosθ=0
∴“0＜m＜1”不是“方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)”的必要條件
∴“0＜m＜1”是“方程x²sinθ+y²cosθ=1表示的曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)”的充分不必要條件
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四種條件的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．