Question

已知有關正三角形的一個結論：“在正三角形ABC中，若D是BC的中點，G是三角形ABC內切圓的圓心，則

AG

GD

=2”．若把該結論推廣到正四面體（所有棱長均相等的三棱錐），則有結論：“在正四面體ABCD中，若M是正三角形BCD的中心，O是在正四面體ABCD內切球的球心，則

AO

OM

=

3

”．

Answer 1

分析：類比平面幾何結論，推廣到空間，則有結論：“

AO

OM

=3”．設正四面體ABCD邊長為1，易求得AM=

6

3

，又O到四面體各面的距離都相等，所以O為四面體的內切球的球心，設內切球半徑為r，則有r=

3V

S表

，可求得r即OM，從而可驗證結果的正確性．

解答：解：推廣到空間，則有結論：“

AO

OM

=3”．
設正四面體ABCD邊長為1，易求得AM=

6

3

，又O到四面體各面的距離都相等，
所以O為四面體的內切球的球心，設內切球半徑為r，
則有r=

3V

S表

，可求得r即OM=

6

12

，
所以AO=AM-OM=

6

4

，所以 

AO

OM

=3．
故答案為：3

點評：本題考查類比推理、幾何體的結構特征、體積法等基礎知識，考查運算求解能力，考查空間想象力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．