Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；

（2）定義：若直線與曲線都相切，我們稱直線為曲線、的公切線，證明：曲線與總存在公切線．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解；

（2）分別設(shè)切點橫坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合，只需滿足有解即可，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點存在性定理即可證明存在.

（1），

函數(shù)在上單調(diào)遞增等價于在上恒成立．

令，得，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則．

因為，則在上恒成立等價于在上恒成立；

又

，

所以，即．

（2）設(shè)的切點橫坐標(biāo)為，則

切線方程為……①

設(shè)的切點橫坐標(biāo)為，則，

切線方程為……②

若存在，使①②成為同一條直線，則曲線與存在公切線，由①②得消去得

即

令，則

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，使得

時總有

又時，

在上總有解

綜上，函數(shù)與總存在公切線．