Question

如圖，梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=CB=AB，E是AB的中點，將△ADE沿DE折起，使點A折到點P的位置，且二面角P-DE-C的大小為120°.

(Ⅰ)求證：DE∥平面PBC；

(Ⅱ)求證：DE⊥PC；

(Ⅲ)求直線PD與平面BCDE所成角的正弦值.

Answer 1

答案：證明：(Ⅰ)∵E是AB的中點,∴BE=AB,

又∵CD∥AB,DC=AB,∴DC∥EB且DC=EB,∴四邊形DCBE是平行四邊形,∴ED∥BC,

∵DE面PBC,BC面PBC,∴DE∥平面PBC. 

(Ⅱ)連接EC,據(Ⅰ)知,CD∥AE且CD=AE,

∴四邊形ADCE為平行四邊形,又AD=DC,∴四邊形ADCE是菱形.

連接AC交DE于F,連接PF,則DE⊥AC,DE⊥PF,

∵AC∩PF=F,∴DE⊥平面PFC,又∵PC平面PFC,∴DE⊥PC.

(Ⅲ)∵DE⊥平面PFC,DE平面BCDE,∴平面PFC⊥平面BCDE,且兩平面交于AC,過點P作PH⊥AC于H,則PH⊥平面BCDE,連接DH,則DH為PD在平面BCDE上的射影,∴∠PDH就是直線PD與平面BCDE所成的角. 

由(Ⅱ)知,∠PFC就是二面角P-DE-C的平面角,∴∠PFC=120°,∴∠PFA=60°.

設AD=AE=BC=DE=a,則AF=PF=a,在Rt△PHF中,PH=PF·sin60°=a.

∴在Rt△PHD中,sin∠PDH=.