Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+ （a∈R）．
（1）若f（x）在x=2處取得極小值，求a的值；
（2）若f（x）存在單調遞減區間，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=alnx+ +2，定義域是（0，+∞），

∵f′（x）= ，

∵f（x）在x=2處取得極小值，故f′（2）=0，

即4a+4a﹣2+a=0，解得：a= ，

經檢驗a= 時，f（x）在x=2處取得極小值

（2）解：∵f′（x）= ，

若f（x）存在單調遞減區間，則f′（x）＜0有正數解，

即a（x2+2x+1）＜x有x＞0的解，

即a＜ 有x＞0的解，

問題等價于a＜ ，x＞0，

∵ = ≤ 當且僅當x=1時取“=“，

∴ = ，

∴a＜

【解析】（1）首先求導由已知可得f′（2）=0即可得出a的值。（2）根據導函數研究函數的單調性可得f′（x）＜0有正數解，由式子的幾何意義可得a（x2+2x+1）＜x有x＞0的解的情況即a＜ 有x＞0的解，等價于a小于該分式的最大值再利用基本不等式求出這個值即可。
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)的相關知識才是答題的關鍵．