Question

【題目】已知定義在上的函數(shù)滿足：對任意都有.

（1）求證：函數(shù)是奇函數(shù)；

（2）如果當時，有，試判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明你的判斷；

（3）在（2）的條件下，若對滿足不等式的任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）函數(shù)在上為增函數(shù)，證明見解析（3）

【解析】

（1）先分析定義域是否關(guān)于原點對稱，再賦值求，令即可求證（2）先判斷在上為增函數(shù)，再根據(jù)定義證明在上是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)知在上為增函數(shù)（3）根據(jù)（2）可得不等式的解，在此范圍恒成立，分離參數(shù)即可求解.

（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，令，可得，

所以，令，則，即，所以函數(shù)為奇函數(shù).

（2）函數(shù)在上為增函數(shù).

證明如下：

設(shè)且，則

，

因為時，有，

所以，

故

即，

所以函數(shù)在上是增函數(shù)，

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上是增函數(shù)，

故在上為增函數(shù).

（3）因為，

所以，

因為在上為增函數(shù)，

所以，解得.

即當時，恒成立，

所以在上恒成立，

而，

所以只需，

故的取值范圍為.