Question

對于函數f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點．已知f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）當a=1，b=-2時，求函數f（x）的不動點；
（2）若對任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的范圍；
（3）在（2）的條件下，若y=f（x）圖象上A、B兩點的橫坐標是函數f（x）的不動點，且A、B兩點關于直線y=kx+

1

2a2+1

對稱，求b的最小值．

Answer 1

分析：（1）轉化為直接解方程x²-x-3=x即可．
（2）轉化為ax²+bx+b-1=0有兩個不等實根，轉化為b²-4a（b-1）＞0恒成立，再利用二次函數大于0恒成立須滿足的條件來求解即可．
（3）利用兩點關于直線對稱的兩個結論，一是中點在已知直線上，二是兩點連線和已知直線垂直．找到a，b之間的關系式，整理后在利用基本不等式求解可得．

解答：解：（1）∵a=1，b=-2時，f（x）=x²-x-3，
f（x）=x?x²-2x-3=0?x=-1，x=3
∴函數f（x）的不動點為-1和3；

（2）即f（x）=ax²+（b+1）x+b-1=x有兩個不等實根，
轉化為ax²+bx+b-1=0有兩個不等實根，須有判別式大于0恒成立
即b²-4a（b-1）＞0?△=（-4a）²-4×4a＜0?0＜a＜1，
∴a的取值范圍為0＜a＜1；

（3）設A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），則x₁+x₂=-

b

a

，
A，B的中點M的坐標為  （

x1+x2

2

，

x1 +x2

2

），即M（-

b

2a

，-

b

2a

）
∵A、B兩點關于直線y=kx+

1

2a2+1

對稱，
又因為A，B在直線y=x上，
∴k=-1，A，B的中點M在直線y=kx+

1

2a2+1

上．
∴-

b

2a

=

b

2a

+

1

2a2+1

?b=-

a

2a2+ 1

=-

1

2a+ 1 a

利用基本不等式可得
當且僅當a=

2

2

時，b的最小值為-

1

2 2

．

點評：本題是在新定義下對函數知識的綜合考查，是一道好題．關于兩點關于直線對稱的問題，有兩個結論同時存在，一是中點在已知直線上，二是兩點連線和已知直線垂直．