Question

對于函數f（x），若f（x₀）=x₀，則稱x₀為f（x）的：“不動點”；若f[f（x₀）]=x₀，則稱x₀為f（x）的“穩定點”．函數f（x）的“不動點”和“穩定點”的集合分別記為A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）設函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，求證：B=∅；
（2）設函數f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根據（1）（2）中的結論判斷A=B恒成立？若能，請給出證明，若不能，請舉以反例．

Answer 1

分析：（1）由已知中不動點的定義，由函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）結合二次方程的根的個數與△的關系，可得結論；
（2）由已知中不動點的定義，由函數f（x）=3x+4，求出集合A和B，另可舉出反例f（1）=1，f（2）=3，f（3）=2，推翻結論A=B恒成立

解答：解：∵A={x|f[f（x）]=x}=∅，
∴ax²+bx+c=x無解
即△=（b-1）²-4a＜0
①當a＞0時，二次函數y=f（x）-x，即y=ax²+（b-1）x+c的圖象在x軸的上方
∴?x∈R，f（x）-x恒成立
∴?x∈R，f（x）＞x恒成立
∴?x∈R，f[f（x）]＞f（x）＞x恒成立，即B=∅；
②當a＜0時，同理可證B=∅；
綜上，對于函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），當A=∅時，B=∅；
（2）由f（x）=x，f（x）=3x+4得3x+4=x，解得x=-2
由f[f（x）]=x得3（3x+4）+4=x，解得x=-2
∴A=B={-2}
但A=B不能恒成立，如f（x）為如下對應關系時：
f（1）=1，f（2）=3，f（3）=2
則有A={1}，B={1，2，3}使A≠B

點評：本題考查的知識點是函數恒成立問題，二次函數的性質，其中正確理解不動點的定義是解答的關鍵，另外舉反例難度較大．