Question

【題目】已知函數(shù)/(x.

（1）當(dāng)時(shí)，求在最小值；

（2）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】分析：（I）可先求f′（x），從而判斷f（x）在x∈[1，+∞）上的單調(diào)性，利用其單調(diào)性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，需h′（x）＜0有正數(shù)解．從而轉(zhuǎn)化為：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通過(guò)對(duì)a分a=0，a＜0與當(dāng)a＞0三種情況討論解得a的取值范圍；（Ⅲ）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)，，即.，再構(gòu)造函數(shù)，令，有，從而，問(wèn)題可解決；（法二）可用數(shù)學(xué)歸納法予以證明．當(dāng)n=1時(shí)，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1，成立；設(shè)時(shí)，命題成立，即，，再去證明n=k+1時(shí)，即可（需用好歸納假設(shè)）．

詳解：

（1），定義域?yàn)?/span>.

∵

∴在上是增函數(shù).

.

（2）因?yàn)?/span>

因?yàn)槿?/span>存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有正數(shù)解.

即有有解.

①當(dāng)時(shí)，明顯成立.

②當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下的拋物線，總有有解；

③當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上的拋物線，即方程有正跟.

當(dāng)時(shí)，；

，解得.

綜合①②③知：.

綜上所述：的取值范圍為.

（3）（法一）根據(jù)（1）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即.

令，則有，

∴.

∵，

∴.

（法二）當(dāng)時(shí)，.

∵，∴，即時(shí)命題成立.

設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即.

∴時(shí)，

根據(jù)（1）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即.

令，則有，

則有，

即時(shí)命題也成立.

因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立.