Question

【題目】某醫院為篩查某種疾病，需要檢驗血液是否為陽性，現有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗，列需要檢驗次；②混合檢驗，將其（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為.

（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗的方式，求恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率.

（2）現取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.

（i）運用概率統計的知識，若，試求關于的函數關系式；

（ii）若，且采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少，求的最大值.

參考數據：，，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）（且）；（ii）的最大值為8

【解析】

（1）結合題意，由排列組合知識及概率公式即可得解；

（2）先由已知條件求得關于的函數關系式，再利用導數研究函數的單調性，再結合函數性質即可得解.

（1）記恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件，

則.

（2）（i），的取值為1，，，，

所以，

由，得，所以（且）.

（ii），，所以，即.

設，，，

當時，，在上單調遞增；

當時，，在上單調遞減.

，，

所以的最大值為8.