Question

17.如圖，在六面體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A₁B₁C₁D₁是邊長為1的正方形，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊥平面ABCD，DD₁＝2.

（Ⅰ）求證：A₁C₁與AC共面，B₁D₁與BD共面；

（Ⅱ）求證：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁；

（Ⅲ）求二面角A－BB₁－C的大小（用反三角函數值圾示）.

Answer 1

本小題主要考查直線與平面的位置關系、平面與平面的位置關系、二面角及其平面角等有關知識，考查空間想象能力和思維能力，應用向量知識解決立體幾何問題的能力。

解法1（向量法）：

以D為原點，以DA，DC,DD₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D－xyz如圖，則有

A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A₁(1,0,2),B₁(1,1,2),C₁(0,1,2),D₁(0,0,2).

（Ⅰ）證明：∵,,

,,

∴=2,=2

∴與平行，與平行，

于是A₁C₁與AC共面，B₁D₁與BD共面。

（Ⅱ）證明：,

,

∴,.

DD₁與DB是平面B₁BDD₁內的兩條相交直線.

∴AC⊥平面B₁BDD₁.

又平面A₁ACC₁過AC,

∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁.

（Ⅲ）解：,,.

設n(x₁,y₁,z₁)為平面A₁ABB₁的法向量，

，，

于是y₁=0,取z₁=1,則x₁=2, =(2,0,1).

設m=(x₂,y₂,z₂)為平面B₁BCC₁的法向量，

，，

于是x₂=0,取z₂=1,則y₂=2, =(0,2,1).

.

∴二面角A-BB₁-C的大小為。

解法2（綜合法）：

（Ⅰ）證明：∵D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁, D₁D⊥平面ABCD,

∴D₁D⊥DA, D₁D⊥DC, 平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD.

于是C₁D₁∥CD,D₁A₁∥DA.

設E、F分別為DA,DC的中點，連結EF,A₁E,C₁F,

有A₁E∥D₁D,C₁F∥D₁D,DE=1,DF=1.

∴A₁E∥C₁F,

于是A₁C₁∥EF.

由DE=DF=1,得EF∥AC,

故A₁C₁∥AC,

A₁C₁與AC共面。

過點B₁作B₁O⊥平面ABCD于點O，則B₁O A₁E, B₁OC₁F,連結OE,OF,

于是OEB₁A₁,OFB₁C₁,∴OE=OF.

∵B₁A₁⊥A₁D₁,∴OE⊥AD.

∵B₁C₁⊥C₁D₁,∴OF⊥AD.

所以點O在BD上，故D₁B與DB共面。

（Ⅱ）證明：∵D₁D⊥平面ABCD,∴D₁D⊥AC,

又BD⊥AC(正方形的對角線互相垂直)，

D₁D與BD是平面B₁BDD₁內的兩條相交直線，

∴AC⊥平面B₁BDD₁,

又平面A₁ACC₁過AC，∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁.

（Ⅲ）解：∵直線DB是直線B₁B在平面ABCD上的射影，AC⊥DB,

根據三垂線定理，有AC⊥B₁B.

過點A在平面ABB₁A₁內作AM⊥B₁B于M, 連結MC,MO,

則B₁B⊥平面AMC,

于是B₁B⊥MC,B₁B⊥MO,

所以，∠AMC是二面角A-B₁B-C的一個平面角。

根據勾股定理，有

.

∵OM⊥B₁B,有

,,,,

,

，

二面角A-BB₁-C的大小為。