Question

如圖，在六面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AC=EF=1，AB=AD=DE=DG=2．
（1）求證：平面BEF⊥平面DEFG；
（2）求證：BF∥平面ACGD；
（3）求三棱錐A-BCF的體積．

Answer 1

分析：（1）由已知中平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB=AB，平面DEFG∩平面ADEB=DE，結合面面平行的性質定理，我們可得到AB∥DE，進而判斷出四邊形ADEB為平行四邊形，即BE∥AD，結合AD⊥平面DEFG，和面面垂直的判定定理，即可得到平面BEF⊥平面DEFG；
（2）取DG的中點為M，連接AM、FM，證四邊形DEFM是平行四邊形，結合線面平行的判定定理，即可得到BF∥平面ACGD；
（3）由已知中平面ABC∥平面DEFG，可得F到面ABC的距離為AD，計算出AD的長及底面面積，代入棱椎體積公式即可得到三棱錐A-BCF的體積．

解答：證明：（1）已知如圖：

∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB=AB，
平面DEFG∩平面ADEB=DE∴AB∥DE．∵AB=DE∵AB=DE，
∴ADEB為平行四邊形，BE∥AD．（2分）∵AD⊥平面DEFG，∴BE⊥平面V，∵BE?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面DEFG．（4分）
（2）取DG的中點為M，連接AM、FM，
則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形，
∴DE

∥ .

.

FM，又∵AB

∥ .

.

DE，∴AB

∥ .

.

FM（6分）
∴四邊形ABFM是平行四邊形，即BF∥AM，
又BF?平面ACGD故BF∥平面ACGD．（8分）
解：（3）∵平面ABC∥平面DEFG，則F到面ABC的距離為AD．
∴VA-BCF=VF-ABC=

1

3

•S△ABC•AD=

1

3

•(

1

2

•1•2)•2=

2

3

．（12分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，直線與平面平行的判定，其中熟練掌握空間直線與平面位置關系的判定方法及性質、定義是解答此類問題的關鍵．