Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2x+1，g（x）=2aln（x﹣1）（a∈R）．
（1）求函數h（x）=f（x）﹣g（x）的極值；
（2）當a＞0時，若存在實數k，m使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得h（x）=（x﹣1）2﹣2aln（x﹣1），x＞1，

∴ ，

①當a≤0時，則h'（x）＞0，此時h（x）無極值；

②當a＞0時，令h'（x）＜0，則 ；令h'（x）＞0，則 ；

∴h（x）在 上遞減，在 上遞增；

∴h（x）有極小值 ，無極大值

（2）解：當a＞0時，有（1）知，h（x）在 上遞減，在 上遞增，且有極小值 ，

①當a＞e時， ，

∴ ，

此時，不存在實數k，m，使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立；

②當0＜a≤e時， ，f（x）=x2﹣2x+1在 處的切線方程為 ，

令 ，x＞1，

則 ，

∴ ，

令 = ，x＞1，

則 ，

令v'（x）＜0，則 ；令v'（x）＞0，則 ；

∴ =a（1﹣lna）≥0，

∴ ，

∴ ，

當 ， 時，不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，

∴0＜a≤e符合題意；

由①，②得實數a的取值范圍為（0，e]

【解析】（1）求出h（x），得出導函數，對參數a分類討論即可；（2）結合（1）的討論，當a＞0時，有（1）知，h（x）在 上遞減，在 上遞增，且有極小值 ，構造函數 ，

， = ，對參數a分類討論即可．

【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．