Question

【題目】已知圓經過點，且圓心在直線：上.

（1）求圓的方程；

（2）過點的直線與圓交于兩點，問在直線上是否存在定點，使得恒成立？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）在直線上存在定點，使得恒成立，詳見解析

【解析】

（1）求出弦中垂線方程，由中垂線和直線相交得圓心坐標，再求出圓半徑，從而得圓標準方程；

（2）直線斜率存在時，設方程為，代入圓的方程，得的一元二次方程，同時設交點為由韋達定理得，假設定點存在，設其為，由求得，再驗證所作直線斜率不存在時，點也滿足題意．

（1）的中點為，∴的垂直平分線的斜率為，

∴的垂直平分線的方程為，∴的垂直平分線與直線交點為圓心，則

，解得，

又．

∴ 圓的方程為.

（2）當直線的斜率存在時，設直線的斜率為，則過點的直線方程為，故

由，整理得，

設，

設，則，

，

，

即

，

當斜率不存在時，成立，

∴在直線上存在定點，使得恒成立