Question

正實數數列{a_n}中,a₁=1,a₂=5,且{}成等差數列.
(1)證明:數列{a_n}中有無窮多項為無理數;
(2)當n為何值時,a_n為整數?并求出使a_n<200的所有整數項的和.

Answer 1

（1）見解析  （2）當n=+1(m∈N)和n=+1(m∈N^*)時,a_n為整數，6733

(1)證明:由已知有:=1+24(n-1),
從而a_n=.
取n-1=24^2k-1,則a_n=(k∈N^*).
用反證法證明這些a_n都是無理數.
假設a_n=為有理數,則a_n必為正整數,
且a_n>24^k,故a_n-24^k≥1,a_n+24^k>1,與(a_n-24^k)(a_n+24^k)=1矛盾,
所以a_n=(k∈N^*)都是無理數,
即數列{a_n}中有無窮多項為無理數.
(2)解:要使a_n為整數,由(a_n-1)(a_n+1)=24(n-1)可知:a_n-1,a_n+1同為偶數,且其中一個必為3的倍數,
所以有a_n-1=6m或a_n+1=6m.
當a_n=6m+1時,有=36m²+12m+1=1+12m(3m+1)(m∈N).
又m(3m+1)必為偶數,
所以a_n=6m+1(m∈N)滿足=1+24(n-1),
即n=+1(m∈N)時,a_n為整數;
同理a_n=6m-1(m∈N^*)時,有=36m²-12m+1=1+12m(3m-1)(m∈N^*)也滿足=1+24(n-1),
即n=+1(m∈N^*)時,a_n為整數;
顯然a_n=6m-1(m∈N^*)和a_n=6m+1(m∈N)是數列中的不同項,
所以當n=+1(m∈N)和n=+1(m∈N^*)時,a_n為整數.
由a_n=6m+1<200(m∈N)有0≤m≤33,
由a_n=6m-1<200(m∈N^*)有1≤m≤33.
設a_n中滿足a_n<200的所有整數項的和為S,
則S=(1+7+13+…+199)+(5+11+…+197)= ×34+×33=6733.