Question

【題目】已知三棱錐 的底面積 是邊長為 的正三角形， 點在側面 內的射影 為 的垂心，二面角 的平面角的大小為 ，則 的長為（ ）

A.3
B.
C.
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】連結 交 于點 ，連結 ，設 在底面 內的射影為 ，則 平面 ，連結 交 于點

∵ 點在側面 內的射影 為 的垂心
∴ 平面 ，
∴
∵ ， 平面 ， 平面
∴ 平面
∴
∵ 平面 ， 平面
∴
∵ ， 平面 ， 平面
∴ 平面
∵ 平面
∴
同理可證
∴ 是 的垂心
∴三棱錐 為正三棱錐
∵三棱錐 的底面 是邊長為 的正三角形
∴ ， ，則
∵二面角 的平面角的大小為
∴ 為二面角 的平面角
在 中， ，
∴
在 中， ，
∴
所以答案是：C
【考點精析】認真審題，首先需要了解棱錐的結構特征(側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方)．