Question

【題目】根據下列條件，分別求拋物線的標準方程：

(1)拋物線的焦點是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點；

(2)拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，AF＝5.

Answer 1

【答案】（1）y2＝－12x.（2）y2＝±2x或y2＝±18x.

【解析】試題分析：（1）先將雙曲線方程化為標準方程，根據方程可得左頂點，即得拋物線焦點，根據焦點坐標直接寫出拋物線標準方程（2）根據焦點位置可設拋物線標準方程形式，設A點坐標，根據拋物線定義以及點在拋物線上列方程組解得p，即得拋物線方程

試題解析：解：(1)雙曲線方程化為－＝1，左頂點為(－3,0)，由題意設拋物線方程為y2＝－2px(p>0)，且＝－3，∴p＝6，∴方程為y2＝－12x.

(2)設所求焦點在x軸上的拋物線的方程為

y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，

由拋物線定義，得5＝AF＝.

又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，

故所求拋物線方程為y2＝±2x或y2＝±18x.

點睛; 待定系數法求拋物線的標準方程

(1)根據拋物線焦點是在x軸上還是在y軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據條件確定關于p的方程，解出p，從而寫出拋物線的標準方程．

(2)當焦點位置不確定時，有兩種方法解決．一種是分情況討論，注意要對四種形式的標準方程進行討論，對于焦點在x軸上的拋物線，為避免開口方向不確定可分為y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)兩種情況求解．另一種是設成y2＝mx(m≠0)，若m>0，開口向右；若m<0，開口向左；若m有兩個解，則拋物線的標準方程有兩個．同理，焦點在y軸上的拋物線可以設成x2＝my(m≠0)．如果不確定焦點所在的坐標軸，應考慮上述兩種情況設方程．