【題目】如圖，
，
分別是通過某城市開發區中心O的兩條東西和南北走向的街道，連接M，N兩地間的鐵路是圓心在上的一段圓弧．若點M在點O正北方向，且
，點N到，的距離分別為5km和4km．
（1）建立適當的坐標系，求鐵路路線所在圓弧的方程．
（2）若該城市的某中學擬在點O正東方向選址建分校，考慮環境問題，要求校址到點O的距離大于4km，并且鐵路上任意一點到校址的距離不能小于
km，求該校址距點O的最近距離．
【答案】（1）
；（2）校址選在距離O為5km的地方最近
【解析】
(1)由已知得以
，
為x軸、y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系，得出M，N的坐標，鐵路路線所在圓弧所在的圓的圓心既在x軸上，又在直線MN的垂直平分線上，由此可求出圓心的坐標，再利用兩點的距離求出半徑，從而得出鐵路路線所在圓弧的方程.
(2)設出校址的坐標，根據兩點的距離公式列出不等式，再利用(1)小問中求出的圓弧的方程代換掉不等式中的y,得出關于x的不等式，再將所得的不等式設成關于x的一次函數，利用一次函數的單調性列出關于a的不等式，得解.
（1）如圖，分別以，為x軸、y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．則
，
，故
，MN的中點為
．
線段MN的垂直平分線方程為
．
由于圓心既在線段MN的垂直平分線方程上，又在x軸上，
所以令直線方程中的
，得
．
故圓心
，
．圓A的方程為
．弧MN的方程為
（2）設校址選在
，則
對
恒成立．整理，得
對恒成立．令
．
，
．
函數
在區間
上為減函數．
，即
，解得
，即校址選在距離O為5km的地方最近．
故得解.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線C：y=
，D為直線y=
上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.
（1）證明：直線AB過定點：
（2）若以E(0，
)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四棱錐P—ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）設Q為側棱PC上一點，
試確定
的值，使得二面角Q—BD—P為45°．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列命題，其中正確命題有（ ）
A.空間任意三個不共面的向量都可以作為一個基底
B.已知向量
，則
與任何向量都不能構成空間的一個基底
C.
是空間四點，若
不能構成空間的一個基底，那么共面
D.已知向量
組是空間的一個基底，若
，則
也是空間的一個基底
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
，
，三個函數的定義域均為集合
．
（1）若
，試判斷集合
與
的關系，并說明理由；
（2）記
，是否存在
，使得對任意的實數
，函數
有且僅有兩個零點？若存在，求出滿足條件的最小正整數
；若不存在，說明理由．（以下數據供參考：
，
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
的左右焦點分別為
，
為坐標原點，以下說法正確的是（ ）
A.過點
的直線與橢圓
交于
，
兩點，則
的周長為
.
B.橢圓上存在點
，使得
.
C.橢圓的離心率為
D.為橢圓
一點，
為圓
上一點，則點，的最大距離為
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4—4：坐標系與參數方程
已知曲線
的參數方程為
（
為參數），以平面直角坐標系
的原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程及曲線上的動點
到坐標原點的距離
的最大值；
（Ⅱ）若曲線與曲線相交于
，
兩點，且與軸相交于點
，求
的值．
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