Question

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=

1

2

CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

Answer 1

（1）證明：∵E、F分別是PC、PD的中點，∴EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，
∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB；
（2）證明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴PA⊥AB，
∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵AB∥EF，
∴EF⊥平面PAD，
∴EF⊥PD，
∵PA=AD=2，F(xiàn)是PD的中點，
∴PD⊥AF，
∵EF∩AF=F，
∴PD⊥平面ABEF；
（3）由（2）知，P到平面ABEF的距離為

2

，∴M到平面ABEF的距離為

2

2

，
又MF=1，EF=2，∴ME=

5

，
∴直線ME與平面ABEF所成角的正弦值為

2 2

5

=

10

10

．