Question

【題目】已知函數f(x)＝(x－k)ex，

(1)求f(x)的單調區間；

(2)求f(x)在區間[0，1]上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f(x)的單調遞減區間是(－∞，k－1)；單調遞增區間是(k－1，＋∞)；

（2）最小值為f(1)＝(1－k)e

【解析】試題分析：（1）f′（x）=（x﹣k+1）ex，令f′（x）=0，得x=k﹣1．由此能求出f（x）的單調區間．

（2）當k﹣1≤0時，函數f（x）在區間[0，1]上遞增，f（x）min=f（0）=﹣k；當1＜k≤2時，函數f（x）在區間[0，k﹣1]上遞減，（k﹣1，1]上遞增，；當k＞2時，函數f（x）在區間[0，1]上遞減，f（x）min=f（1）=（1﹣k）e．

試題解析：

解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.

令f′(x)＝0，得x＝k－1.

當x變化時，f(x)與f′(x)的變化情況如下：

x	(－∞，k－1)	(k－1)	(k－1，＋∞)
f′(x)	－	0	＋
f(x)		－ek－1

所以，f(x)的單調遞減區間是(－∞，k－1)；單調遞增區間是(k－1，＋∞)．

(2)當k－1≤0，即k≤1時，函數f(x)在[0，1]上單調遞增，

所以f(x)在區間[0，1]上的最小值為f(0)＝－k.

當0<k－1<1，即1<k<2時，

由(1)知f(x)在[0，k－1)上單調遞減，在(k－1，1]上單調遞增，所以f(x)在區間[0，1]上的最小值為

f(k－1)＝－ek－1.

當k－1≥1，即k≥2時，函數f(x)在[0，1]上單調遞減，

所以f(x)在區間[0，1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e.