Question

（本題滿分10分）設(shè)，是否存在整式，使得
對(duì)n≥2的一切自然數(shù)都成立?并試用數(shù)學(xué)
歸納法證明你的結(jié)論.

Answer 1

略

解：假設(shè)存在整式，使得對(duì)n≥2的一切自然數(shù)都成立,則
當(dāng)n=2時(shí)有,又∵,∴;
當(dāng)n=3時(shí)有,又∵,
∴;……, 猜想：g(n)=n(n≥2),
下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：
(1)當(dāng)n=2時(shí)，已經(jīng)得到證明.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2，k∈N)時(shí)，結(jié)論成立,即
存在g(k)=k，使得對(duì)k≥2的一切自然數(shù)都成立成立.則當(dāng)n=k+1時(shí)，
,
又∵∴,
∴,
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立.
由(1)(2)知,對(duì)一切n(n≥2,n∈N^*)有=n，使得
都成立.