Question

【題目】已知圓，點為坐標原點，一條直線與圓相切并與橢圓交于不同的兩點.

（1）設，求的表達式；

（2）若，求直線的方程；

（3）若，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1；（2）或；（3）.

【解析】

（1）利用直線與圓相切可得圓心到直線距離等于半徑，求得；根據直線與橢圓交于不同兩點可得，求得，由此可得；

（2）直線與橢圓方程聯立得到韋達定理的形式，利用韋達定理表示出，由此構造方程求得，根據可求得，進而得到所求直線方程；

（3）利用可求得的范圍；利用弦長公式和點到直線距離公式表示出三角形的底和高，從而將表示為關于的函數，利用函數值域的求解方法求得結果.

（1）與圓相切，，則，

由，消去得：，

與橢圓交于不同的兩點，

，，

.

（2）設，，

由（1）知：，.

則 ，

解得：，即，，

直線的方程為：或.

（3）由（2）知：.

，，解得：，

又，

原點到直線距離，

，

令，由可知：，，

，

由得：，，，

即面積的取值范圍為.