Question

已知點A（-2，0），B（1，0），C（0，1），直線y=kx將△ABC分割為兩部分，則當這兩個部分的面積之積取得最大值時k的值為（　　）

• A．-

  3

  2

• B．-

  3

  4

• C．-

  4

  3

• D．-

  2

  3

Answer 1

分析：由題意作圖，結合基本不等式可得當S₁=S₂時取等號，由面積公式可得AD的長度，而由方程組可表示點D的坐標，由距離公式可的方程，解之即可．

解答：解：由題意作出圖象（如圖），設兩部分面積分別為S₁，S₂
由題意可得S₁+S₂=S_△ABC=

1

2

×AB×OC=

3

2

，
故由基本不等式可得：S₁S₂≤(

S1+S2

2

)=

9

16

，當且僅當S₁=S₂時取等號，
而當當S₁=S₂時，顯然直線職能與AC相交，設交點為D，已知直線AC的方程為：y=

1

2

x+1，
則由

y= 1 2 x+1 y=kx

解得

x= 2 2k-1 y= 2k 2k-1

，即點D（

2

2k-1

，

2k

2k-1

），
而由S₁=S₂可得，2S_△AOD=S_△ABC，即2×

1

2

×AO×AD×sin∠DAO=

1

2

×AB×AC×sin∠CAB，
解得AD=

AB×AC

2AO

=

3× 5

2×2

=

3 5

4

，即(

2

2k-1

+2)2+(

2k

2k-1

)2=(

3 5

4

)2，
化簡得（8k）²=（6k-3）²，解得k=-

3

2

或k=

3

14

（舍去）
故選A

點評：本題考查三角形的面積，涉及基本不等式和待定系數法求解k值，屬中檔題．