Question

已知函數f(x)＝sin²＋sin－.
(1)在△ABC中，若sin C＝2sin A，B為銳角且有f(B)＝，求角A，B，C；
(2)若f(x)(x＞0)的圖象與直線y＝交點的橫坐標由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，求數列{x_n}的前2n項和，n∈N^*.

Answer 1

（1）（2）(2n²－n)π.

(1)因為f(x)＝＋sin －＝sin －cos ＝sin ＝sin x，
又因為f(B)＝，故sin B＝.又B為銳角，所以B＝.
由sin C＝2sin A，得c＝2a，所以b²＝a²＋4a²－2a·2acos ＝3a².所以c²＝a²＋b².所以△ABC為直角三角形，C＝，A＝－＝.
(2)由正弦曲線的對稱性、周期性，可知
＝，＝2π＋，…，＝2(n－1)π＋，
所以x₁＋x₂＋…＋x_2n－1＋x_2n＝π＋5π＋9π＋…＋(4n－3)π＝nπ＋n(n－1)·4π＝(2n²－n)π.