【題目】 設函數
，曲線
在點
處的切線方程為
.
（1）求
、
；
（2）證明
.
【答案】（1）
，
；（2）證明見解析.
【解析】
試題分析：（1）根據求導法則求出原函數的導函數，由某點的導數是在該點的切線的斜率，結合切線方程以及該點的函數值，將函數值和切線斜率代入原函數和導函數可求得參數值；（2）由（1 )可得
的解析式，為多項式，對要證的不等式進行變形，使之成為兩個函數的大小關系式，再分別利用導函數求出兩函數在定義域內的最值，可證得兩函數的大小關系，進而證得.
試題解析：（1）函數
的定義域為
，
.
由題意可得
，
.故，.
（2）證明：由（1）知，
，
從而
等價于
.
設函數
，則
.
所以當
，
；
當
時，
.
故
在
上單調遞減，
上單調遞增，從而在
上的最小值為
.
設函數
，則
.
所以當
時，
；當
時，
.故
在
上單調遞增，在
上單調遞減，從而在
上的最大值為
.
綜上，當
時，
，即
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班的60名同學已編號1,2,3，…，60，為了解該班同學的作業情況，老師收取了號碼能被5整除的12名同學的作業本，這里運用的抽樣方法是( )
A. 簡單隨機抽樣 B. 系統抽樣
C. 分層抽樣 D. 抽簽法
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們日平均增加的睡眠時間(單位：h)．試驗的觀測結果如下：
服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分別計算兩組數據的平均數，從計算結果看，哪種藥的療效更好？
(2)根據兩組數據繪制莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
有如下性質：如果常數
，那么該函數在
上是減函數，在
上是增函數．
（1）已知
，利用上述性質，求函數
的單調區間和值域；
（2）對于（1）中的函數
和函數
，若對任意
，總存在
，使得
成立，求實數
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下面為一個求50個數的平均數的程序，在橫線上應填充的語句為
S=0
i=1
DO
INPUT x
S=S+x
i=i+1
LOOP UNTIL __________
a=S/20
PRINT a
END
A. i>50 B. i<50 C. i>=50 D. i<=50
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于在區間
上有意義的兩個函數
與
，如果對任意的
，均有
，則稱
與
在
上是接近的，否則稱
與
在
上是非接近的.現在有兩個函數
與
，現給定區間
.
（1）若
，判斷
與
是否在給定區間上接近；
（2）是否存在
，使得
與
在給定區間
上是接近的；若存在，求
的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，矩形
和矩形
所在平面互相垂直，
與平面
及平面
所成的角分別為
，
，
、
分別為
、
的中點，且
.
（1）求證：
平面
；
（2）求線段
的長；
（3）求二面角
的平面角的正弦值.
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