Question

已知雙曲線的中心在原點，焦點F₁，F₂在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)．
(1)求雙曲線方程；
(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：·＝0；
(3)求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

（1）x²－y²＝6  （2）見解析   （3）6

(1)∵e＝，
∴設雙曲線方程為x²－y²＝λ．
又∵雙曲線過(4，－)點，
∴λ＝16－10＝6，
∴雙曲線方程為x²－y²＝6．
(2)證明：∵＝(－3－2，－m)，
＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)(3－2)＋m²＝－3＋m²．
∵M在雙曲線上，∴9－m²＝6，
∴m²＝3，∴·＝0．
(3)∵在△F₁MF₂中，|F₁F₂|＝4，且|m|＝，
∴S_△F1MF2＝·|F₁F₂|·|m|
＝×4×＝6．