Question

已知雙曲線的中心在坐標原點，兩個焦點為F₁（-

7

，0），F(xiàn)₂（

7

，0），點P是此雙曲線上的一點，且

PF1

•

PF2

=0，|

PF1

|•|

PF2

|=4，該雙曲線的標準方程是（　　）

A． x2 4 - y2 3 =1

B． x2 3 - y2 4 =1

C． x2 5 - y2 2 =1

D． x2 2 - y2 5 =1

Answer 1

設雙曲線的方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∵兩焦點F₁（-

7

，0），F(xiàn)₂（

7

，0），且

PF1

•

PF2

=0，
∴

PF1

⊥

PF2

，
∴△F₁PF₂為直角三角形，∠P為直角；
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2

7

)2=28；①
又點P是此雙曲線上的一點，
∴||PF₁|-|PF₂||=2a，
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF₁|•|PF₂|=4a²，由|

PF1

|•|

PF2

|=4得|PF₁|•|PF₂|=4，
∴|PF1|2+|PF2|2-8=4a²，②
由①②得：a²=5，又c²=(

7

)2=7，
∴b²=c²-a²=2．
∴雙曲線的方程為：

x2

5

-

y2

2

=1，
故選C．