Question

【題目】如圖，已知點S為正方形ABCD所在平面外一點，△SBC是邊長為2的等邊三角形，點E為線段SB的中點．

（1）證明：SD//平面AEC；

（2）若側面SBC⊥底面ABCD，求平面ACE與平面SCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接BD交AC于F，連接EF，由已知結合三角形的中位線定理可得EF∥SD，再由直線與平面平行的判定可得SD∥平面AEC；

（2）取BC的中點O，連接OF并延長，可知OF⊥OC，利用線面垂直的判定定理與性質定理可得：OS⊥OF，OS⊥OC，建立空間直角坐標系，分別求出平面CDS與平面ACE的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得平面ACE與平面SCD所成銳二面角的余弦值．

（1）證明：連接BD交AC于F，連接EF，

∵ABCD為正方形，F為BD的中點，且E為BS的中點，

∴EF∥SD．

又SD平面AEC，EF平面AEC，

∴SD∥平面AEC；

（2）取BC的中點O，連接OF并延長，可知OF⊥OC，

在等邊三角形SBC中，可得SO⊥BC，

∵側面SBC⊥底面ABCD，且側面SBC∩底面ABCD＝BC，

∴SO⊥平面ABCD，得OS⊥OF，OS⊥OC．

以O為坐標原點，分別以OF，OC，OS所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

得：A（2，﹣1，0），C（0，1，0），E（0，，），D（2，1，0），S（0，0，）．

，，，．

設平面CDS與平面ACE的一個法向量分別為，．

由，取z＝1，得；

由，取x1＝1，得．

∴cos．

∴平面ACE與平面SCD所成銳二面角的余弦值為．