Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為F，過F的直線交拋物線于A、B的兩點，過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M．
（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），試用x₁，x₂表示點M的坐標．
（Ⅱ）

FM

•

AB

是否為定值，如果是，請求出定值，如果不是，請說明理由．
（III）設△ABM的面積為S，試確定S的最小值．

Answer 1

由x²=2py，得y=

x2

2p

，故y′=

x

p

，切線AM的方程為y-y1=

x1

p

(x-x1)，即y=

x1

p

x-

x1 2

2p

①，
切線BM的方程為：y-y2=

x2

p

(x-x2)即y=

x2

p

x-

x2 2

2p

②
由①②聯立解得M的坐標是（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

）
（2）F（0，

p

2

），

FM

=（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

-

p

2

），

AB

=（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，

x2 2-x1 2

2p

），

FM

•

AB

=

x2 2-x1 2

2

+（

x2x1

2p

-

p

2

）

x2 2-x1 2

2p

③
由A，B，F三點共線得k_AF=k_BF∴

y1- p 2

x1

=

y2- p 2

x2

，將y₁=

x1 2

2p

，y2=

x2 2

2p

代入整理得x₁x₂=-p²④，
把④代入③得

FM

•

AB

=0
（3）由（2）知FM⊥AB，故△ABM的面積為S=

1

2

AB×FM=

1

2

（y1+

p

2

+y2+

p

2

，

( x1+x2 2 )2+( x2x1 2p - p 2 )2

）=

1

2

（

x1 2+x2 2

2p

+p）

x1 2+x2 2 4 + p2 2

∵x₁²+x₂²≥2|x₁x₂|
∴x₁²+x₂²≥2p²（當且僅當x₁=-x₂時等號成立）
∴S的最小值是

1

2

p2