Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，直線l與橢圓C交于A、B兩點，且

（1）求橢圓C的方程；

（2）若A、B兩點關于原點O的對稱點分別為，且，判斷四邊形是否存在內切的定圓？若存在，請求出該內切圓的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）因為，所以，，所以，解得，代入方程即可 （2）①當直線的斜率存在時，設，由，，因為，所以，，，原點到直線的距離，同理可證，原點到達的距離都為，四邊形存在內切的定圓，且該定圓的方程為②當直線的斜率不存在時，同理說明即可

解：(1)因為，所以，.因為直線與橢圓交于，兩點，且，所以，所以，解得，所以，

所以橢圓的方程為

(2)①當直線的斜率存在時，設由

得，，

所以，

因為，所以，，即所以，所以原點到直線的距離

根據橢圓的對稱性，同理可證，原點到達的距離都為，

所以四邊形存在內切的定圓，且該定圓的方程為

②當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，不妨設分別為直線與橢圓的上、下交點，則，

由，得，，解得，

所以此時原點到直線的距離為.

根據橢圓的對稱性，同理可證，原點到達的距離都為，

所以四邊形存在內切的定圓，且該定圓的方程為.

綜上可知，四邊形存在內切的定圓，且該定圓的方程為